UNIDAD # 1 Introducción a los métodos numéricos

UNIDAD # 1 Introducción a los métodos numéricos

1.1 Historia de los Métodos Numérico

La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los babilonios, 2000 años a.C. compusieron tablas matemáticas. Se ha encontrado una tabilla de barro con los cuadrados enteros del 1 al 30. Los babilonios adoraban los cuerpos celestes y elaboraban efemérides astronómicas. El famoso astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas efemérides babilónicas de eclipses que databan del año 747 a. C. Arquímedes, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades. El trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centrado principalmente en la preparación de tablas astronómicas. El advenimiento del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en todas las ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico. En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y en 1620, los logaritmos de las funciones seno y tangente fueron tabuladas son siete cifras decimales. Hacia 1628 habían sido calculadas tablas de logaritmos con catorce decimales de los números 1 al 100,000.
El cálculo en series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un papel central en el análisis numérico. Con la predicción de la existencia y la localización del planeta Neptuno por Adam y Leverrier en 1845, la importancia científica del análisis numérico quedó establecida de una vez y para siempre.
A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas de cálculo automático estimuló más aún el desarrollo del análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del progreso en las máquinas de cálculo electrónicas de alta velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran número de importantes logros científicos que antes parecían inaccesibles.
El arte de calcular, que es distinto a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos precisos y detallados por lo que también toma en cuenta precisión y exactitud así como los errores y la comprobación de los resultados
Sin lugar a duda a lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales.
Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse es difícil si no imposible de alcanzarse. Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores la pregunta es ¿Qué error puede considerarse tolerable.
Cuando se emplea un número en el cálculo, debe haber seguridad que pueda usarse con confianza.
4to Semestre Ing. Civil I.T.S.R Métodos Numéricos
Ing. Alejandro Arana Paredes pág. 2
El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la contabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos, más un digito estimado que se pueda usar con confianza; los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal.
1.-Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo se puede decir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta hasta cuatro cifras significativas – esto es, debe existir seguridad que las primeras cuatro cifras son correctas. 2.-Aunque ciertas cantidades tales como π, e o √7 representan números específicos, no se puede expresar exactamente con un numero finitos de dígitos. Debido a que las computadoras personales solo representan aproximadamente diez cifras significativas (comúnmente varían entre 7 y 14) tales números jamás se podrán representar exactamente. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo. Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas tienen mucha importancia en la identificación de exactitud y precisión.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas

1.2 Razones de su aplicación
Desde tiempos ancestrales el papel del ingeniero ha sido básicamente el mismo, tratar de conocer e interpretar los mecanismos de la naturaleza para así poder modificarla al servicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos, intuición, experiencia y los medios naturales a los que en cada momento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cómputo que se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandes ventajas para poder llevar a cabo su misión y abordar cada día retos más ambiciosos en la solución de nuevos problemas, cuyos aspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicos pueden tener un mayor impacto en la mejora de la calidad de vida del hombre. Encontramos así aplicaciones de
los métodos numéricos en los ámbitos más diversos desde sectores tecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural o la aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadas como ingeniería de alimentos, ingeniería médica, diseño de fármacos, biología, etc.. En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico-estructural de un avión, resolviendo encada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas. Se presentan a continuación algunas aplicaciones de los métodos numéricos a diversos problemas de ingeniera:
1. Mecánica de solidos
Existen hoy en día, un gran número de estructuras en ingeniería civil, que son modelados desde su concepción utilizando técnicas de elementos finitos.
Los métodos numéricos también pueden ser utilizados para estudiar el comportamiento de estructuras que son fabricadas en serie. Un ejemplo típico de esta aplicación es el modelado numérico de casas habitación de interés social. En este caso es muy importante hacer el modelado integral de la estructura, para ver su comportamiento como un todo y poder tomar acciones tanto de diseño como posibles reparaciones cuando sufre daño en condiciones de servicio
2. Mecánica de Fluidos
Una rama muy importante de la ingeniería, es el estudio de la mecánica de fluidos, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenómeno físico tienen ciertas peculiaridades que las hacen difíciles de abordar desde el punto de vista numérico. Aquí se presentan problemas de bloqueo numérico de la solución y deben seguirse ciertas alternativas para hacer abordable el problema. Un tipo de problemas que es interesantes resolver es por ejemplo determinar las presiones que provoca el viento sobre una estructura determinada. Un estudio de ese tipo se realizó en el observatorio astronómico de Gran Canarias, construido por la Comunidad Económica Europea en las Islas Canarias a finales del siglo pasado. Se requería poder determinar qué deformaciones produciría el viento sobre la estructura del telescopio, pues se afectaría seriamente la calidad de las observaciones que se realizarían.

3. Medios de Transporte

En general, para la concepción y producción de un vehículo (ya sea un automóvil, un avión o un barco) es muy común utilizar modelos numéricos de dinámica de fluidos para simular el comportamiento del vehículo en movimiento (ya sea en tierra, en aire o en ambos). Esto permite optimizar la forma geométrica exterior del mismo de manera que su resistencia al avance sea la mínima posible, lo que permitirá tener una vida útil más larga, menor consumo de combustible, que sea menos contaminante, que sea más ligero (más barato de producir). Pero el estudio no termina ahí. Los modelos anteriormente descritos deben acoplarse con estudios que permitan el modelado de situaciones extremas de servicio del
Vehículo que podrían afectar la seguridad de sus ocupantes, tales como: choque, vuelco, aterrizaje forzoso, etc., lo que exige hacer uso de modelos avanzados de dinámica estructural no lineal. Por otra parte, cada vez es más usual utilizar simulaciones numéricas para reproducir el ciclo de diseño y fabricación de piezas de los vehículos. Ejemplos de estos procesos pueden encontrase en: la embutición, el doblado y el corte de piezas de chapa para carrocerías y fuselajes; el modelado de la fabricación del monoblock de un motor, de una biela o de un pistón (problema termo-mecánico con cambio de fase para modelar la Solidificación del colado de la pieza); el diseño de mejores sistemas de seguridad Activos y pasivos en caso de colisión (refuerzos estructurales, bolsas de aire, etc.)
Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas”
Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación
• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una curva: ajuste de curvas
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales

1.3 Conceptos de exactitud, precisión, error y aproximaciones

EXACTITUD: Se refiere a la cercanía de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.
PRECISIÓN: refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.
ERROR
En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como:
Error = Valor real -valor estimado
En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.
Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor:
Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero
Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.
Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:
Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido.
Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:
Es=(0.5x 102-2)%=0.5%
Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en E.


APROXIMACIONES:
Aproximar un numero ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy próximo al número dado.
En la aproximación por defecto se busca el número con un determinado número de cifras que es menor que el dado.
La aproximación por exceso es cuando el numero con las cifras decimales fijadas es inmediatamente mayor al número dado.
Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales: a) por defecto es 1.34 b) por exceso es 1.35
Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:
a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044
Redondear un numero consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es aquella con la que se comete un error menor, en el caso anterior si se redondea 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.
En algunos conceptos básicos de los métodos numéricos se puede encontrar las siguientes cifras: cifras significativas, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. Ya que forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas más adecuadas.
Al estudiar la teoría de aproximación se comprenden dos tipos de problemas. El primero se presenta cuando una función se presenta de manera explícita, pero se quiere encontrar un tipo más simple de ella, El otro se refiere a la adaptación de funciones a ciertos datos y a la búsqueda de la función óptima en una clase donde se puedan emplear los datos.

1.4 Errores Inherentes de Redondeo y Por Truncamiento

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:
E = Valor verdadero - valor aproximado

 ERRORES DE REDONDEO

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamaron “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa.
El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. Se simboliza con ≈. Por ejemplo 2,95 ≈ 3, 312/937 ≈ 1/3 o √2 ≈ 1,414 . Se utiliza con el fin de facilitar los cálculos. Como desventaja, al calcular con valores aproximados se acumulan errores de redondeo que pueden hacer variar significativamente el valor estimado obtenido respecto del valor real. Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a la centésima, se aplicará las reglas de redondeo:
 Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.
Ejemplo: 12.612 Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12.612 ≈ 12.61.
 Dígito mayor o igual que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.
Ejemplo: 12.618 Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12.618 ≈ 12.62
Ejemplo: 2.3571 redondeado a la centésima es 2.36 , debido a que 2.3571 está más cerca de 2.36 que de 2.35.

ERRORES DE TRUNCAMIENTO:

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial.
Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.
Siendo el término final:
Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1
En el sub campo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3.14159265358979...
32.438191288
6.3444444444444
2835479389
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
2835000000
Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que justo en el redondeo, pero el truncamiento redondea hacia abajo los dígitos, cortando en el dígito especificado (salvo cuando los sucesores dígitos sean 0, en cuyo caso el truncamiento será indistinto). El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.


1.5 Errores absoluto y Relativo

 ERROR ABSOLUTO

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como: 𝐸𝑎=|𝑉𝑅−𝑉𝑀|

 ERROR RELATIVO

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto no tiene unidades. Y el error relativo se expresa como:
𝐸𝑟=𝐸𝑎𝑉𝑅
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Error relativo porcentual:
𝐸𝑟𝑝=𝐸𝑟 𝑥 100
Ejemplo: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) El error b) El error relativo porcentual de cada caso.
Solución: a) El error de medición del puente es: EA = 10 000 - 9 999 = 1cm y para el remache es de: EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es de: ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01% y para el remache es de: ERP = 1/10 x 100% = 10% Por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

1.6 Herramientas Computacionales

NAG

El Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.
IMSL
La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.

NUMERICAL RECIPES

Los libros de Numerical Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una “receta (recipe)” para resolver algún problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL. Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de señal, crear código VHDL y otras.

MATLAB
Es un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.

GNU OCTAVE
Es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.